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Le mathématicien français Gaston Julia en 1950

Létalité de la trigonométrie

4 min
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Toute l'histoire des mathématiques tient à l'écart qui sépare la forme d'un shuriken de celle d'un nunchaku

Le mathématicien français Gaston Julia en 1950
Le mathématicien français Gaston Julia en 1950

Tous les enfants de ma génération rêvaient de posséder des shurikens : ces petits triangles de ninja dont nous pensions naïvement qu’il s’agissait de l’arme absolue. Quelques-uns s’en étaient procurés, et nous avions pu vérifier que leurs pointes étaient parfaitement aiguisées — mais sans oser les lancer dans le dos de nos adversaires. Nous aimions je crois l’idée qu’avec eux la trigonométrie était devenue létale. 

Mon intérêt pour les triangles ne s’est pas démenti depuis, des triangles comme objets familiers et dangereux, quotidiens et exotiques. 

Je cherche encore par quel miracle les trois angles du triangle font 180 degrés. Je n’arrive toujours pas à croire aux démonstrations du théorème de Pythagore. Je n’ai pas abandonné l’idée de découvrir une solution simple au problème de la trisection. 

Je pourrais regarder des heures, sur des animations mathématiques, la façon dont la bissectrice, la médiane et la hauteur, comme des balais d’essuie-glaces, viennent se confondre dans le triangle équilatéral. J’ai longtemps regardé voltiger, dans un cercle trigonométrique, les notions abstraites de cosinus, de tangente et de sinus, qui prenaient soudain, dans cette animation en LaTeX, leur sens mathématique : et la chose avait bien quelque chose de cette substance élastique, le triangle voyant sans cesse l’une de ses pointes s’étirer dans les deux infinis avant de revenir sagement sur la circonférence du cercle. 

Je me suis demandé quel était le plus réel des deux triangles, celui que dessinait Thalès dans le sable ou celui qui s’exhibait ainsi sur Twitter. 

Il était en tout cas absolument exclu qu’il y en ait un troisième, un triangle idéal — même dans les recoins les plus profonds de l’espace-temps, où il flotterait immobile, gardien des lois de la nature, comme le pilier central, orgueilleusement pythagoricien, des tentes canadiennes. Dans le Décathlon de la cosmologie, cela fait longtemps de toute façon que les trois angles d’un triangle, sur les dômes des tentes Quechua individuelles ou sur les hyperboles des modèles familiaux ne font plus 180 degrés. Le cas particulier du vieux triangle s’est dissous dans les big-bang de ces tentes au montage instantané. Mais pas plus que leurs tringles en carbone, cousues dans la doublure, ne sont de pures idéalités mathématiques, les bords d’aucun triangle ne sont immatériels. 

Le théorème de Thalès a longtemps eu pour propriété principale - et occulte - d'être à 37 degrés. Et si l’informatisation des mathématiques l’a un temps refroidi, il est revenu — avec le recours aux démonstrations assistées par les réseaux neuronaux de l’apprentissage profond — à son arachnéenne nature première. 

J’ai visité récemment la bibliothèque de l'Institut Poincaré en me demandant justement quel était le lieu des mathématiques. Dans ses rayonnages, les œuvres intégrales de Gauss côtoyaient celles de Ramanujan, mais on avait aussi intercalé des ouvrages de mathématiques appliquées, notamment un hergéen manuel de guidage de missiles, logiquement signé d’un certain Arthur Locke. J’ai aussi ouvert les œuvres de Leibniz à leur page la moins mathématique, celle de la théodicée — « sur la bonté de Dieu, la liberté de l’homme et l’origine du mal ». 

Mais croire que la nature était écrite en langage mathématique, et utiliser ce savoir pour détruire les murailles de tous les Jéricho terrestres, n’était ce pas une forme, encore, de la théodicée ?

Ou bien les mathématiques étaient-elles plutôt dans les objets complexes, collectionnés dans les vitrines — masque de bois des hypercubes, forme d’ossement des solides platoniciens alignés, bassin maternel d’un double tore. 

Il y avait aussi, dans un autre livre, un objet plus saisissant encore — saisissant par son absence : le nez de Gaston Jullia, mathématicien et gueule cassée, qui portait, jusqu’à sa photo d’académicien, un petit masque noir au milieu de son visage détruit.

Quel mathématicien extraterrestre possède dans sa vitrine le modèle mathématique exact du nez anéanti ? 

Me fantasmant mathématicien à mon tour, j’ai brandi un peu plus tard, en pénétrant dans le trésor de la bibliothèque, le trophée qu’avait refusé Perelman, pour sa démonstration de la conjecture de Poincaré.

L’autre chose qui faisait rêver les enfants de ma génération, à côté des trigonométriques shurikens, c’était le nunchaku — dont on ne pouvait soupçonner qu’il communiquait, par-delà les rivages euclidiens de la Grèce, avec les mystères de la théorie du chaos. Il s’agissait, en effet, d’un double pendule, de ceux dont je contemple quotidiennement sur mon fil Twitter les déambulations chaotiques sur un compte mathématique dédié : le premier bras a beau ressembler au rayon bienheureux de mon cercle trigonométrique, le second s’envole dans toutes sortes de manifestations déraisonnables de sa fantaisie.

Les mathématiques, plutôt que générées par nous, semblent ici nous narguer ou nous attendre.

par Aurélien Bellanger

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