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Coloration aléatoire d'un graphe complet à 20 sommets, présentée par Timothy Gowers, lorsqu'il introduit une idée de Paul Erdős

Combinatoire, leçon inaugurale de Timothy Gowers

58 min
À retrouver dans l'émission

Quelle est l'histoire de la combinatoire? Pourquoi de sérieux mathématiciens passent-ils leur temps à colorier des graphes? s’interroge Timothy Gowers. Le mathématicien revient sur l'importance de cette branche des mathématiques, liée à l'informatique et qui sert la topologie ou l’épidémiologie...

Coloration aléatoire d'un graphe complet à 20 sommets, présentée par Timothy Gowers, lorsqu'il introduit une idée de Paul Erdős
Coloration aléatoire d'un graphe complet à 20 sommets, présentée par Timothy Gowers, lorsqu'il introduit une idée de Paul Erdős Crédits : T. Gowers/Collège de France

Nouvelle écoute du 2 avril 2021

Qu’est-ce qui se joue dans la notion de quasi-alétoire? demande Timothy Gowers.

Formé à l’université de Cambridge, où il a occupé la chaire Rouse Ball en mathématique, Sir William Timothy Gowers a été professeur invité à Princeton et Research Professor de la Royal Society, entre 2009 et 2020, avant d’être nommé au Collège de France, titulaire de la nouvelle chaire « Combinatoire ». 

Lauréat de nombreux prix, dont celui de la Société mathématique européenne en 1996 et de la prestigieuse médaille Fields en 1998, il est chevalier de l’ordre de l’Empire britannique pour services rendus aux mathématiques, depuis 2012. Chercheur engagé, il met sa curiosité et son attachement pour les méthodes de résolution de problèmes spécifiques, au service de la pédagogie et d’une ouverture de sa discipline à un public plus large. Il a d’ailleurs lancé le projet polymath (voir aussi The polymath blog).

En dehors de sa passion pour un "sous domaine de la combinatoire, qui est la théorie des graphes extrémaux", Timothy Gowers s’intéresse beaucoup à deux sujets liés l’un à l’autre  : 

"d’une part, le processus de la découverte mathématique, et d’autre part, la démonstration de théorèmes par ordinateur. Malgré les progrès rapides et récents en matière d’intelligence artificielle, on est loin d’avoir un système automatique capable de résoudre des problèmes mathématiques intéressants ! Pour mieux comprendre ce phénomène, il est nécessaire de réfléchir sur la façon dont les mathématiciens travaillent et sur la nature même des mathématiques."

Au delà de certaines formules ésotériques, pour les novices que nous pouvons être en combinatoire, Timothy Gowers nous invite à suivre l’histoire de sa discipline, dont l’importance, aujourd’hui, est liée au développement informatique. Au cours de sa leçon inaugurale, nous verrons d’ailleurs quelle est l’interaction entre les mathématiciens et les ordinateurs pour résoudre les problèmes ou relancer des théories que l’on croyait erronées. Nous suivons les découvertes en combinatoire, en réponse à des problèmes plus ou moins ludiques ou concrets, où le chemin de la résolution compte plus que le résultat, tandis que Timothy Gowers nous initie à la théorie des graphes. Il faut alors faire appel aux forces imaginantes pour palier l’absence d’images à la radio, quand, à mi-parcours de sa conférence, nous découvrirons ce qu’est une « clique en informatique » et que les triangles monochromatiques des graphes, seront évoqués. Il vous faudra donc vous représenter un cercle, comme traversé d’un filet, une belle rosace, où les lignes qui se croisent sont symétriques et forment une infinité de triangles, plus ou moins fournis, du centre vers l’extérieur, le tout délimité par un joli jeu de couleurs (ou vous reporter aux images de la vidéo et du site web).

Du théorème de Ramsey à l'idée de Paul Erdös / un graphe à 6 sommets et un graphe à 20 sommets, présentations extraites de la leçon inaugurale de Timothy Gowers
Du théorème de Ramsey à l'idée de Paul Erdös / un graphe à 6 sommets et un graphe à 20 sommets, présentations extraites de la leçon inaugurale de Timothy Gowers Crédits : T. Gowers/Collège de France

"Les graphes, rappelle Timothy Gowers, peuvent être utilisés pour représenter un large éventail de phénomènes du monde réel. Par exemple, les sommets pourraient représenter des sites web et les arêtes les liens entre les sites. Ou bien les sommets pourraient représenter des gens et les arêtes les transmissions potentielles du Covid. En général, les graphes représentent d’une façon abstraite des réseaux : les sommets représentent les objets du réseau et les arêtes représentent les relations entre ces objets. En 1947, le mathématicien hongrois, Paul Erdős a réalisé qu’on peut obtenir des graphes avec des propriétés intéressantes si l’on choisit leurs arêtes au hasard ; cela a eu des conséquences importantes. De nombreux problèmes combinatoires ont été résolus avec l’aide des graphes aléatoires alors qu’on ne sait toujours pas les résoudre au moyen d’une construction explicite". 

Un graphe quasi aléatoire. Timothy Gowers souligne "sa symétrie de rotation qui n'a pas été choisie au hasard"
Un graphe quasi aléatoire. Timothy Gowers souligne "sa symétrie de rotation qui n'a pas été choisie au hasard" Crédits : T. Gowers / Collège de France

Nous allons voir tout de suite qu’il existe deux combinatoires et que Timothy Gowers pratique celle de style dit "hongrois".

"Domaine mathématique un peu paradoxal, entre pauvreté et richesse, indique encore le mathématicien, la combinatoire vise "à dénombrer et à ordonner toutes les combinaisons possibles des éléments constitutifs d'un ensemble."

Le journal Le Monde a consacré un beau et stimulant portrait au "frondeur" Timothy Gowers, qui blogue et twitte plus que la moyenne de ses collègues". David Larousserie précise

Le « combinatoricien », comme il se désigne, donne lui-même plusieurs définitions de sa matière méconnue. « C’est l’étude des structures discrètes », comme les suites de nombres entiers, les réseaux de points reliés par des arêtes (ou graphes), les ensembles… « C’est aussi l’étude de structures à faible contrainte, contrairement à l’algèbre », qui pose des règles plus strictes, à la manière de la grammaire.

À RÉÉCOUTER

Dans la vidéo qui présente sa chaire, Timothy Gowers explique : 

"Les problèmes y sont souvent simples à poser, mais très difficiles à résoudre. C'est un peu comme le jeu de go, où les règles sont très faciles, mais « bien jouer le jeu de go », est très difficile."

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Alors comment intervient l’interaction entre le hasard et la structure dans la théorie des graphes extrémaux ? Et pourquoi la combinatoire aide-t-elle à éviter le télescopage de dates d’examens universitaires? 

Réponse, dans l'heure, au Collège de France, le 21 janvier 2021, pour la leçon inaugurale de Timothy Gowers, intitulée, « Combinatoire ». 

Pour prolonger

Timothy Gowers a publié « Petite initiation aux mathématiques » chez Vuibert en 2011. Sa leçon inaugurale est publiée chez Fayard en coédition avec le Collège de France. 

Sa prochaine série de cours est intitulée "La combinatoire additive linéaire" à partir du 11 octobre 2021.

Du théorème de Szemerédi et de l'importance des méthodes développées...

Le dossier de presse qui accompagne la leçon inaugurale de Timothy Gowers rappelle que le mathématicien "s’est illustré par des travaux mobilisant de nombreux domaines des mathématiques et de façon toujours transversale". 

"C’est le cas des recherches qu’il a menées au début de sa carrière de mathématicien sur les espaces de Banach, en associant de façon fructueuse les méthodes de la combinatoire et l’analyse fonctionnelle. Cette approche se retrouve aussi dans la démonstration qu’il a donnée du théorème de Szemerédi (lauréat du prix Abel 2012), qui traite de l’étude fine de la répartition des sous-ensembles de l’ensemble des entiers naturels ayant une densité positive, ainsi que dans plusieurs travaux reconnus comme pionniers faisant appel à la théorie des graphes ou aux méthodes probabilistes dans les groupes quasi- aléatoires".

Présentation du théorème de Szemerédi
Présentation du théorème de Szemerédi Crédits : T. Gowers/Collège de France

Présentation du théorème de Szemerédi qui "nous dit que j'ai une stratégie gagnante pour ce jeu" explique Timothy Gowers. Il a fait alors une découverte importante, qui tient surtout dans les techniques qu'il a dû développer pour trouver une borne... 

"J'ai choisi ce théorème pour deux raisons. La première est qu'il y a une question naturelle qui se pose. Etant donné votre choix de A et de K. Quelle doit être la taille de N pour que je sois sûr de gagner? J'ai découvert ce qui est probablement le résultat le plus important de ma carrière. Il y a vingt ans. En établissant une borne dont  je vous montre l'expression ici":

Borne supérieure pour N, trouvée par Timothy Gowers, présentation extraite de sa leçon inaugurale
Borne supérieure pour N, trouvée par Timothy Gowers, présentation extraite de sa leçon inaugurale Crédits : T. Gowers/Collège de France

"Il existe sûrement une borne supérieure beaucoup plus basse, poursuit Tim Gowers. Mais ce que j'ai trouvé est la première borne connue et mon résultat n'a pas été amélioré depuis. En effet, ce n'est pas la borne elle même qui est importante, même si de temps en temps, d'autres mathématiciens l'ont utilisée. Ce qui compte vraiment, ce sont les techniques que j'ai dû développer pour l'obtenir, qui ont trouvé beaucoup plus d'applications que le résultat qu'elles ont servi à prouver. Ce phénomène n'est pas limité à ce problème particulier. En combinatoire, les méthodes développées ont souvent plus d'importance que les problèmes spécifiques qu'elles permettre à résoudre."

Sa première année de cours est intitulée "Outils de la combinatoire" :

"Timothy Gowers proposera pour sa première année un cours sur les « outils de la combinatoire » en présentant certaines des méthodes qu’il utilise dans ses recherches, qui proviennent de la combinatoire extrémale, la probabilité discrète, l’analyse de Fourier, et la théorie additive de nombres. Le séminaire ouvrira sur des sujets plus larges en questionnant la « philosophie de la pratique des mathématiques »."

Références musicales :

  • Prelude no. 2 in c minor", Arandel, extrait de l'album "InBach"
  • "Mécanique organique", Edouard Ferletsoit, extrait de l'album "Think Bach op 2" 
  • Générique de fin, "Passacaglia", Arandel, extrait de l'album "InBach"
Intervenants
  • Mathématicien, professeur du Collège de France, titulaire de la chaire Combinatoire
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